Encontre a transformada imeresa de Laplace de função
F(s)=\frac{4 s+7}{(s-1)^{2}+16}
Apresente a resposta em termss de funçés exponenciais
trigonométricas reais

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{4s+7}{(s-1)^{2}+16}.
Vamos usar a propriedade de deslocamento em s e as transformadas inversas padrões
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}\}=e^{at}\cos(bt)
e
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}\}=e^{at}\sin(bt).

Passo 2

Escrevemos o numerador em função de s-1. Calculamos
4s+7 = 4(s-1) + 11.

Passo 3

Substituindo na fração, obtemos
F(s) = \frac{4(s-1)}{(s-1)^{2}+16} + \frac{11}{(s-1)^{2}+16}.

Passo 4

Reconhecemos que aqui a=1 e b=4. Além disso, escrevemos
\frac{11}{(s-1)^{2}+4^{2}} = \frac{11}{4}\,\frac{4}{(s-1)^{2}+4^{2}}.
Assim cada termo corresponde a um caso padrão.

Passo 5

Aplicando as fórmulas de transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{4(s-1)}{(s-1)^{2}+16}\Bigr\} = 4\,e^{t}\cos(4t),
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{11}{(s-1)^{2}+16}\Bigr\} = \frac{11}{4}\,e^{t}\sin(4t).
Somando os dois resultados, obtemos a solução em t.

Resposta

f(t) = 4e^{t}\cos(4t) \;+\;\frac{11}{4}\,e^{t}\sin(4t).

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