Encontre a transformada Z inversa das expressões abaixo:
C(z)=z^2(z-1 / 2)(z-1 / 3),|z|>12

Passo 1

Temos a função em z
C(z)=z^2(z-tfrac12)(z-tfrac13), com região de convergência |z|>tfrac12 ãê
Queremos encontrar a sequência causal c[n] tal que
C(z)=sumn=0^inftyc[n],z^-n
Para isso vamos usar divisão polinomial (pois o numerador tem mesmo grau que o denominador), decompor em frações parciais e empregar pares Z=transformada conhecidas:
Zde<a[n]=1, Za^n-1u[n-1]=1z-a(|z|>|a|)

Passo 2

Fazemos divisão polinomial entre z^2 e
(z-tfrac12)(z-tfrac13) =z^2-l(tfrac12+tfrac13r)z+tfrac16 =z^2-tfrac56,z+tfrac16
Escrevemos
z^2z^2-tfrac56z+tfrac16 =1+l(tfrac56,z-tfrac16r)z^2-tfrac56z+tfrac16

Passo 3

Substituindo de volta os fatores
z^2-tfrac56z+tfrac16=(z-tfrac12)(z-tfrac13),
ficamos com
C(z)=1+ tfrac56,z-tfrac16(z-tfrac12)(z-tfrac13)

Passo 4

Agora fazemos frações parciais na parte restante. Procuramos A e B tais que
tfrac56,z-tfrac16 = A,(z-tfrac13)+B,(z-tfrac12)
Igualando coeficientes de z e termo independente:
A+B=tfrac56, tfrac13,A+tfrac12,B=tfrac16
Resolvendo, obtém-se
A=tfrac32, B=-tfrac23

Passo 5

Então a decomposição final é
C(z) =1 +tfrac32,z-tfrac12, -tfrac23,z-tfrac13,

Passo 6

Usamos agora o par conhecido
Zde<a[n]=1 e
Za^n-1u[n-1]=tfrac1z-a para |z|>|a|.
Logo
1z-tfrac12 long<=ftrightarrow (tfrac12)^n-1u[n-1], 1z-tfrac13 long<=ftrightarrow (tfrac13)^n-1u[n-1]

Passo 7

Somando tudo, a sequência c[n] é
c[n] =de<a[n] +tfrac32l(tfrac12r)^n-1u[n-1] -tfrac23l(tfrac13r)^n-1u[n-1]
Em particular, c[0]=1 e para n>=1
c[n] =tfrac32l(tfrac12r)^n-1 -tfrac23l(tfrac13r)^n-1 =3l(tfrac12r)^n-2l(tfrac13r)^n

Resposta

c[n]= 1, & n=0,[6pt] 3(tfrac12)^n-2(tfrac13)^n, & n>=1,[3pt] 0, & n<0 ]

Exercícios relacionados