Encontre a transformada ou a transformada inversa.
F(s)=s-6(s-1)^2+4

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=s-6(s-1)^2+4. O conteúdo é transformada inversa de Laplace e vamos usar as formas padrão de L^-1(s-a)/[(s-a)^2+b^2] e L^-1b/[(s-a)^2+b^2].

Passo 2

Precisamos reconhecer que as transformadas básicas são:
L^-1gls-a(s-a)^2+b^2gr=e^atcos(bt)e L^-1glb(s-a)^2+b^2gr=e^atsin(bt)

Passo 3

Observe que o denominador de F(s) é (s-1)^2+2^2. Para facilitar, decomponha o numerador:
s-6=(s-1)-5

Passo 4

Assim podemos escrever
F(s)=s-1(s-1)^2+4-5cdot1(s-1)^2+4

Passo 5

Reconhecendo cada fração: o primeiro termo é a transformada de e^tcos(2t), pois tem a forma (s-1)/[(s-1)^2+2^2]. O segundo termo é 5 vezes 1/[(s-1)^2+2^2], e como
1(s-1)^2+2^2=12;2(s-1)^2+2^2,
este usamos que 2/[(s-1)^2+2^2] é a transformada de e^tsin(2t). Portanto o segundo termo vira tfrac52e^tsin(2t).

Passo 6

Somando as partes, a transformada inversa é:
f(t)=e^tcos(2t)-52e^tsin(2t)

Resposta

f(t)=e{t}\cos(2t)-\tfrac{5}{2}e{t}\sin(2t)

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