Encontre a transformada inversa da função abaixo, utlizando o método que achar mais conveniente/fácil.
F(s)=2 s^3+10 s^2+8 s+40s^2(s^2+9).

Passo 1

Resumo: A questão pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=2s^3+10s^2+8s+40s^2(s^2+9)
O conteúdo principal é o uso de frações parciais e tabela de transformadas de Laplace. Precisamos decompor essa função em termos cujas inversas conhecemos.

Passo 2

Vamos fazer a decomposição em frações parciais. Suponha que
2s^3+10s^2+8s+40s^2(s^2+9)=As+Bs^2+Cs+Ds^2+9

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s^2(s^2+9) e igualando numeradores,
2s^3+10s^2+8s+40=A,s(s^2+9)+B(s^2+9)+(Cs+D)s^2
Expandindo e agrupando termos de mesma ordem em s:
  • Coeficiente de s^3: A+C=2
  • Coeficiente de s^2: B+D=10
  • Coeficiente de s^1: 9A=8 A=8/9
  • Termo constante: 9B=40 B=40/9
    Então C=2-A=10/9 e D=10-B=50/9.

Passo 4

Substituindo de volta,
F(s)=8/9s+40/9s^2+(10/9)s+50/9s^2+9

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, lembrando que:
  • L^-11/s=1
  • L^-11/s^2=t
  • L^-1s/(s^2+a^2)=cos at
  • L^-1a/(s^2+a^2)=sin at
    Aqui a=3.

Passo 6

Calculando cada parte:
L^-18/9,/s=8/9, L^-140/9,/s^2=40/9,t,
L^-1(10/9)s/(s^2+9)=10/9,cos3t, L^-1(50/9)/(s^2+9)=50/9cdot(1/3),sin3t=50/27,sin3t

Passo 7

Juntando tudo, obtemos a resposta final para f(t).

Resposta

f(t)=89+409t+109cos3t+5027sin3t

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