Encontre a transformada inversa de Laplace

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=1(s^2+1)^2
O conteúdo principal aqui é usar a propriedade de convolução de Laplace, já que sabemos que
Lsin t = 1s^2+1

Passo 2

Como F(s)=l(tfrac1s^2+1r)l(tfrac1s^2+1r), podemos escrever
F(s)=F1(s),F1(s) com F1(s)=1s^2+1
Pela propriedade de convolução, a função no tempo é
f(t) =(f1*f1)(t) =integral0^tf1(u),f1(t-u),du =integral0^tsin(u),sin(t-u),du

Passo 3

Para calcular
integral0^tsin(u)sin(t-u),du, use a identidade
sin(u)sin(t-u) =tfrac12l[cos(2u-t)-cos tr]
Logo,
integral0^tsin(u)sin(t-u),du =tfrac12integral0^tcos(2u-t),du -tfrac12cos tintegral0^tdu
Calcule cada parte separadamente:
integral0^tcos(2u-t),du =sin t, integral0^tdu=t
Assim
integral0^tsin(u)sin(t-u),du =tfrac12l(sin t - tcos tr)

Passo 4

Portanto a transformada inversa de Laplace é
f(t)=12l(sin t - tcos tr)

Resposta

f(t)=12l(sin t - tcos tr)

Exercícios relacionados