Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=u_{1}(t)+2 u_{3}(t)-6 u_{6}(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=u_{1}(t)+2\,u_{3}(t)-6\,u_{6}(t),
onde u_{a}(t) é a função degrau unitário deslocada em t=a, ou seja, u_{a}(t)=u(t-a).
Conteúdo utilizado: linearidade da transformada de Laplace e propriedade de deslocamento no tempo
\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-a s}}{s}.

Passo 2

Aplicando a linearidade, escrevemos
\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{u_{1}(t)\} +2\,\mathcal{L}\{u_{3}(t)\} -6\,\mathcal{L}\{u_{6}(t)\}.

Passo 3

Usando a propriedade de deslocamento no tempo para u_{1}(t)=u(t-1), temos
\mathcal{L}\{u_{1}(t)\} =\frac{e^{-1\cdot s}}{s} =\frac{e^{-s}}{s}.

Passo 4

De forma similar, para 2\,u_{3}(t)=2\,u(t-3) e -6\,u_{6}(t)=-6\,u(t-6) obtemos
\mathcal{L}\{2\,u_{3}(t)\} =2\;\frac{e^{-3s}}{s}, \qquad \mathcal{L}\{-6\,u_{6}(t)\} =-6\;\frac{e^{-6s}}{s}.

Passo 5

Somando todos os termos, fica
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{e^{-s}}{s} +2\,\frac{e^{-3s}}{s} -6\,\frac{e^{-6s}}{s} =\frac{e^{-s}+2\,e^{-3s}-6\,e^{-6s}}{s}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{e^{-s}+2\,e^{-3s}-6\,e^{-6s}}{s}.}

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