Encontre a transformada inversa de Laplace das seguintes funções
Y(s)=9 s^2-95 s+144s^3-11 s^2+24 s

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
Y(s)=9s^2-95s+144s^3-11s^2+24s.
O conteúdo é a decomposição em frações parciais, seguida do uso das transformadas inversas básicas:
L^-1tfrac1s=1 e L^-1tfrac1s-a=e^at.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador para identificar as raízes:
s^3-11s^2+24s = s,(s^2-11s+24) = s,(s-3),(s-8)

Passo 3

Montamos a decomposição em frações parciais:
9s^2-95s+144s,(s-3),(s-8) =As+Bs-3+Cs-8
Multiplicando ambos os lados por s,(s-3),(s-8) obtém-se
9s^2-95s+144 = A,(s-3)(s-8) ;+; B,s,(s-8);+; C,s,(s-3)

Passo 4

Usamos o método do “cover-up” para achar A,B,C:
  • Em s=0: 9cdot0-95cdot0+144=144= Acdot(-3)(-8)=24A Rightarrow A=6.
  • Em s=3: 9cdot9-95cdot3+144=81-285+144=-60= Bcdot3,(3-8)=-15B Rightarrow B=4.
  • Em s=8: 9cdot64-95cdot8+144=576-760+144=-40= Ccdot8,(8-3)=40C Rightarrow C=-1.
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Y(s)=6s+4s-3-1s-8

Passo 5

Aplicando a transformada inversa a cada termo:
L^-1Y(s) =6,L^-1tfrac1s +4,L^-1tfrac1s-3 -1,L^-1tfrac1s-8,
ou seja,
y(t)=6cdot 1 ;+;4,e^3t;-;e^8t

Resposta

y(t)=6+4e^3t-e^8t

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