Use as proposições vistas em aula para encontrar a transformada de Laplace das seguintes funções
y(t)=t^2 sin 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
y(t)=t^2sin(2t)
O conteúdo principal é usar a propriedade que multiplica por t^n no tempo, isto é,
Lt^n f(t) =(-1)^nd^nds^nl[F(s)r],
onde F(s)=Lf(t). Aqui teremos n=2 e f(t)=sin(2t).

Passo 2

Primeiro, calculamos a transformada de Laplace básica
F(s)=Lsin(2t) =2s^2+4

Passo 3

Pela propriedade mencionada,
Lt^2sin(2t) =(-1)^2d^2ds^2!l[F(s)r] =d^2ds^2!l(2s^2+4r)

Passo 4

Calculemos a primeira derivada:

Passo 5

Agora a segunda derivada:
dds!l(-4s(s^2+4)^2r) =-4cdot(s^2+4)^2 - scdot2(s^2+4)cdot2s(s^2+4)^4
=-4;(s^2+4)-2s^2(s^2+4)^3 =-4;-s^2+4(s^2+4)^3 =4,(3s^2-4)(s^2+4)^3

Passo 6

Portanto,
Lt^2sin(2t) =12s^2-16(s^2+4)^3

Resposta

boxedLt^2sin(2t) =12s^2-16(s^2+4)^3

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