Encontre a transformada inversa de Laplace das seguintes funções
Y(s)=ln s-3s+1

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
Y(s)=lns-3s+1
O conteúdo é propriedades básicas da transformada de Laplace, em particular a transformada de funções do tipo e^-at/t.

Passo 2

Usamos a propriedade de logaritmo para separar em duas partes:
Y(s) =ln(s-3)-ln(s+1)

Passo 3

Recordando que, de forma formal,
Ll-e^-a ttr(s) =integral0^inftyl(-e^-a ttr)e^-s t,dt =-integral0^inftye^-(s+a)tt,dt =ln(s+a),
ignorando constantes aditivas (pois só interessam as dependências em s). Logo,
L^-1ln(s-3)(t) =-e^3tt, L^-1ln(s+1)(t) =-e^-tt

Passo 4

Pela linearidade da transformada inversa,
y(t) =L^-1Y(s)(t) =L^-1ln(s-3)(t) -L^-1ln(s+1)(t) =-e^3tt-l(-e^-ttr) =e^-t-e^3tt

Resposta

y(t)=e^-t-e^3tt, t>0

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