Encontre a transformada inversa de Laplace das seguintes funções
Y(s)=ln s+1s

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
Y(s)=lns+1s
O conteúdo aqui é “transformada inversa de Laplace” e vamos usar uma identidade integral ligada a diferenças de exponenciais para reconhecer a função no domínio do tempo.

Passo 2

Reescrevemos
Y(s)=ln(s+1)-ln(s)
Essa separação sugere que podemos obter Y(s) como a diferença de duas “funções logaritmo” no domínio de s.

Passo 3

Lembramos da identidade (que pode ser obtida trocando a ordem de integração e usando a definição de Y(s)):
integral0^inftye^-s,t-e^-(s+1),tt,dt =lns+1s
Mas o lado esquerdo é justamente
integral0^inftye^-s,t,1-e^-tt,dt ;=; Ll,(1-e^-t)/t,r(s)

Passo 4

Da igualdade acima concluímos que
Y(s)= Ll,(1-e^-t)/t,r(s)
Logo, a transformada inversa de Laplace de Y(s) é
y(t)=1-e^-tt, t>0

Resposta

y(t)=1-e^-tt

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