Encontre a transformada inversa de Laplace das seguintes funções
Y(s)=4 s^2+10 s+2(s^2-1)(s+1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
Y(s)=4s^2+10s+2(s^2-1)(s+1)
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais e uso de tabelas de transformadas conhecidas. Vamos primeiro fatorar o denominador e depois achar coeficientes que permitam inverter termo a termo.

Passo 2

Note que
(s^2-1)(s+1)=(s-1)(s+1)^2
Procuramos uma escrita
4s^2+10s+2(s-1)(s+1)^2 =As-1+Bs+1+C(s+1)^2
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+1)^2, obtemos
4s^2+10s+2 =A(s+1)^2+B(s-1)(s+1)+C(s-1)

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A(s+1)^2=A(s^2+2s+1)=As^2+2As+A,
B(s-1)(s+1)=B(s^2-1)=Bs^2-B,
C(s-1)=Cs-C
Somando,
( A + B )s^2 + (2A + C)s + (A - B - C) =4s^2+10s+2
Igualando coeficientes:
A+B=4, 2A+C=10, A-B-C=2
Dessas equações segue
;A=4,;B=0,;C=2

Passo 4

Substituindo de volta,
Y(s)=4s-1+0s+1+2(s+1)^2 =4s-1+2(s+1)^2
Usamos agora as transformadas inversas conhecidas:
L^-1l1s-ar=e^at, L^-1l1(s-a)^2r=t,e^at
Logo,
L^-1l4s-1r =4e^t, L^-1l2(s+1)^2r =2,t,e^-t

Resposta

y(t)=4e^t+2,t,e^-t

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