Encontre a transformada inversa de Laplace das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
Estamos em um curso de Equações Diferenciais / Transformadas de Laplace e vamos usar decomposição em frações parciais para depois aplicar as fórmulas básicas
e .
Passo 2
Proponho a forma de frações parciais
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Passo 3
Expandindo os produtos do lado direito:
Somando, o coeficiente de cada potência de deve bater com o numerador original, isto é:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira e terceira equações vem
4A + C = 16, A + 9C = 144 Longrightarrow A=0, C=16
Da segunda e quarta equações vem
4B + D = 24, B + 9D = 6 Longrightarrow B=6, D=0
Passo 5
Substituindo em cada fração parcial, obtemos
Y(s) =0cdot s +6s^2+9 +16,s+04s^2+1 =6s^2+9+16,s4s^2+1
Passo 6
Agora usamos as transformadas inversas conhecidas: L^-16/(s^2+9) =6cdot13sin(3t)=2sin(3t),
e escrevemos 16s4s^2+1 =164,ss^2+(1/2)^2 =4,ss^2+(1/2)^2,
cuja inversa é L^-14,s/(s^2+(1/2)^2) =4cosl(tfrac12tr)