Encontre a transformada inversa de Laplace das seguintes funções
Y(s)=16 s^3+24 s^2+144 s+6(s^2+9)(4 s^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
Y(s)=16s^3+24s^2+144s+6l(s^2+9r)l(4s^2+1r)
Estamos em um curso de Equações Diferenciais / Transformadas de Laplace e vamos usar decomposição em frações parciais para depois aplicar as fórmulas básicas
L^-1s/(s^2+a^2)=cos(at)
e
L^-11/(s^2+a^2)=(1/a)sin(at).

Passo 2

Proponho a forma de frações parciais
16s^3+24s^2+144s+6(s^2+9)(4s^2+1) =A,s+Bs^2+9+C,s+D4s^2+1
Multiplicando ambos os lados por (s^2+9)(4s^2+1) obtemos
16s^3+24s^2+144s+6 =(A,s+B)(4s^2+1)+(C,s+D)(s^2+9)

Passo 3

Expandindo os produtos do lado direito:
(A,s+B)(4s^2+1)=4A,s^3+4B,s^2+A,s+B,
(C,s+D)(s^2+9)=C,s^3+D,s^2+9C,s+9D
Somando, o coeficiente de cada potência de s deve bater com o numerador original, isto é:
4A + C = 16, 4B + D = 24, A + 9C = 144, B + 9D = 6

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira e terceira equações vem
4A + C = 16, A + 9C = 144 Longrightarrow A=0, C=16
Da segunda e quarta equações vem
4B + D = 24, B + 9D = 6 Longrightarrow B=6, D=0

Passo 5

Substituindo em cada fração parcial, obtemos
Y(s) =0cdot s +6s^2+9 +16,s+04s^2+1 =6s^2+9+16,s4s^2+1

Passo 6

Agora usamos as transformadas inversas conhecidas:
L^-16/(s^2+9) =6cdot13sin(3t)=2sin(3t),
e escrevemos
16s4s^2+1 =164,ss^2+(1/2)^2 =4,ss^2+(1/2)^2,
cuja inversa é
L^-14,s/(s^2+(1/2)^2) =4cosl(tfrac12tr)

Resposta

y(t)=2sin(3t)+4cosl(tfrac12tr)

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