Encontre a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=4(s^2+1)(s-3)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f(t) = L^-1F(s) onde F(s)=dfrac4(s^2+1)(s-3). Esse problema envolve decomposição em frações parciais e uso das transformadas inversas conhecidas, como L^-11/(s-a)=e^at e L^-1s/(s^2+1)=cos t, L^-11/(s^2+1)=sin t.

Passo 2

Para decompor em frações parciais, escrevemos
4(s-3)(s^2+1) = As-3 + Bs + Cs^2+1
Multiplicando ambos os lados por (s-3)(s^2+1), temos
4 = A(s^2+1) + (Bs + C)(s-3)

Passo 3

Expandindo o lado direito, obtemos
4 = A s^2 + A + Bs^2 - 3Bs + Cs - 3C = (A+B)s^2 + (C-3B)s + (A-3C)
Comparando com 4 = 0cdot s^2 + 0cdot s + 4, surge o sistema:
A + B = 0, C - 3B = 0, A - 3C = 4

Passo 4

Resolvendo o sistema, de A+B=0 vem B=-A; de C-3B=0 segue C=3B=-3A. Substituindo em A-3C=4:
A - 3(-3A) = A + 9A = 10A = 4 implies A = 25,
logo B=-tfrac25 e C=-tfrac65.

Passo 5

Reescrevendo F(s) com esses valores, temos
F(s) = 2/5s-3 - 2/5,ss^2+1 - 6/5s^2+1
Aplicando a transformada inversa em cada termo, usa-se:
L^-11/(s-3) = e^3t, L^-1s/(s^2+1) = cos t, L^-11/(s^2+1) = sin t

Passo 6

Assim obtemos
f(t) = 25e^3t - 25cos t - 65sin t

Resposta

f(t)=25e^3t-25cos t-65sin t

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