Verifique se as seguintes sequências de números reais convergem ou divergem.
an=4 n^3-n^2+13 n^2(2 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos analisar a sequência an = 4n^3 - n^2 + 13n^2(2n + 1) . O objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico quando n fica muito grande) ou se diverge (não se aproxima de nenhum número específico). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências em matemática, especialmente focando em como os termos de maior grau no numerador e denominador influenciam o comportamento da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Observamos que o numerador é um polinômio de terceiro grau ( 4n^3 - n^2 + 1 ) e o denominador também tem termos com n^2 e n .
Vamos expandir o denominador:
3n^2(2n + 1) = 6n^3 + 3n^2
Agora, a sequência fica:
an = 4n^3 - n^2 + 16n^3 + 3n^2

Passo 3

Quando analisamos o comportamento de n tendendo ao infinito, os termos de maior grau (aqueles com a maior potência de n ) têm o maior impacto no valor da expressão. Neste caso, os termos 4n^3 no numerador e 6n^3 no denominador são os mais significativos.
Para simplificar ainda mais, podemos dividir todos os termos pelo maior grau de n presente, que é n^3 :
an = 4n^3/n^3 - n^2/n^3 + 1/n^36n^3/n^3 + 3n^2/n^3 = 4 - 1n + 1n^36 + 3n

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando n vai para o infinito ( n to infty ). Quando n fica muito grande:
  • Termos como 1n e 1n^3 tendem a zero.
  • Assim, a expressão simplificada se torna:
an approx 4 - 0 + 06 + 0 = 46

Passo 5

Simplificando 46 , obtemos:
46 = 23

Resposta

A sequência an = 4n^3 - n^2 + 13n^2(2n + 1) converge para 23 .

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