Encontre a transformada inversa pedida.
\&L^{-1}\left\{\frac{4 s}{4 s^{2}+1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{4s}{4s^{2}+1}\biggr\}.
O conteúdo principal aqui é reconhecer formas padrão de transformadas de Laplace, em especial
\mathcal{L}\{ \cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^2+a^2}.

Passo 2

Observe o denominador 4s^2+1. Podemos fatorar 4 para simplificar a expressão:
4s^2+1 = 4\bigl(s^2+\tfrac14\bigr).

Passo 3

Usando essa fatoração, a fração fica
\frac{4s}{4s^2+1} =\frac{4s}{4\bigl(s^2+\tfrac14\bigr)} =\frac{s}{s^2+\tfrac14}.

Passo 4

Comparando com a forma padrão
\frac{s}{s^2+a^2},
vemos que a^2=\tfrac14, logo a=\tfrac12. Sabemos então que
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^2+(\tfrac12)^2}\Bigr\} =\cos\bigl(\tfrac12\,t\bigr).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{4s}{4s^2+1}\Bigr\} = \cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr).

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