Encontre a transformada inversa pedida.
\&L^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+3 s}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de
F(s)=\frac{1}{s^{2}+3s}
ou seja, hallar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. O conteúdo usado será frações parciais e as fórmulas básicas \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s}\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s+a}\}=e^{-a t}.

Passo 2

Primeiro reescrevemos
\frac{1}{s^{2}+3s}=\frac{1}{s\,(s+3)}.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{s(s+3)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+3}.
Multiplicando por s(s+3) obtemos
1=A(s+3)+B\,s.

Passo 4

Igualando coeficientes em s e termo constante:
(A+B)\,s+3A=1.
Logo
A+B=0,\quad 3A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{3},\;B=-\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa a cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{A}{s}\Bigr\}=A,\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{B}{s+3}\Bigr\}=B\,e^{-3t}.
Substituindo A e B resulta
f(t)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}e^{-3t}.

Resposta

f(t)=\frac{1}{3}\bigl(1 - e^{-3t}\bigr).

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