Encontre a transformada de Laplace de
f(t):=integral0^t(t-v) e^3 v d v

Passo 1

O enunciado define
f(t) ;=;integral0^t(t-v),e^3v,dv
e pede a transformada de Laplace de f(t). O conteúdo aqui é transformada de Laplace e, em particular, a propriedade de convolução. Vamos usar a tabela básica de transformadas e a relação
Lg*h = Lg,Lh

Passo 2

Repare que f(t) pode ser visto como convolução entre
g(t)=t e h(t)=e^3t,
pois
(g*h)(t)=integral0^tg(t-v),h(v),dv =integral0^t(t-v),e^3v,dv=f(t)

Passo 3

Pela propriedade de convolução,
Lf(s) =Lg*h(s) =Lg(s);Lh(s)
Agora usamos transformadas conhecidas:
Lg(s)=Lt(s)=1s^2, Lh(s)=Le^3t(s)=1s-3

Passo 4

Multiplicando as duas expressões, obtemos
Lf(s) =1s^2;1s-3 =1s^2(s-3)
A região de convergência é Re(s)>3.

Resposta

Lf(t)(s)=1s^2(s-3), Re(s)>3

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