Encontre a transformada de Laplace de
f(t):=integral0^t e^v sen(t-v) d v

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=integral0^te^v,sen(t-v),dv
O conteúdo aqui é o teorema da convolução para transformadas de Laplace. Vamos reconhecer essa integral como uma convolução e aplicar o resultado

Passo 2

Definimos
g(v)=e^v, h(w)=sen w
Então
f(t)=(g*h)(t)=integral0^tg(v),h(t-v),dv
e o teorema diz
Lg*h(s)=Lg(s),Lh(s)

Passo 3

Calculamos separadamente as transformadas:
Le^t(s) =integral0^inftye^-ste^tdt =integral0^inftye^-(s-1)tdt =1s-1,Re(s)>1,
Lsen t(s) =1s^2+1

Passo 4

Pelo teorema da convolução,
Lf(s) =1s-1;1s^2+1 =1(s-1)(s^2+1)

Passo 5

Para escrever numa forma mais útil, fazemos frações parciais:
1(s-1)(s^2+1) =As-1+Bs+Cs^2+1
Igualando numeradores,
1=A(s^2+1)+(Bs+C)(s-1)
Comparando coeficientes de s^2: A+B=0.
Comparando coeficientes de s: C-B=0.
Comparando termo independente: A-C=1.
Daqui B=-A, C=B e 2A=1, logo
A=tfrac12, B=-tfrac12, C=-tfrac12

Passo 6

Substituindo de volta, obtemos
Lf(s) =12,1s-1 -12,s+1s^2+1

Resposta

Lf(s) =1(s-1)(s^2+1) =12,1s-1 -12,s+1s^2+1

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