Nos problemas 15-22, resolva a equação integral dada ou a equação integro-diferencial para y(t).
y(t)+3 integral0^t y(v) sen(t-v) d v=t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa equação integral:
y(t) + 3 integral0^t y(v) sin(t - v) , dv = t
Aqui, estamos trabalhando com equações integrais, que fazem parte do estudo de Equações Integrais e Equações Integro-Diferenciais. Para resolver isso, vamos usar Transformadas de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de equação. Precisamos lembrar que a Transformada de Laplace nos ajuda a transformar equações no domínio do tempo para o domínio de s , facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de y(t) é Y(s) , e a transformada de t é 1s^2 . Então temos:
L y(t) + 3 L integral0^t y(v) sin(t - v) , dv = L t
Isso simplifica para:
Y(s) + 3 L y(t) * sin(t) = 1s^2
Aqui, * representa a convolução.

Passo 3

Agora, usamos a propriedade da Transformada de Laplace que diz que a transformada da convolução de duas funções é o produto das transformadas delas. Então:
L y(t) * sin(t) = Y(s) cdot L sin(t)
Sabemos que:
L sin(t) = 1s^2 + 1
Portanto, nossa equação fica:
Y(s) + 3 Y(s) cdot 1s^2 + 1 = 1s^2

Passo 4

Vamos fatorar Y(s) na equação:
Y(s) (1 + 3s^2 + 1) = 1s^2
Agora, vamos juntar os termos dentro do parênteses:
Y(s) ( s^2 + 1 + 3s^2 + 1 ) = 1s^2
Simplificando:
Y(s) ( s^2 + 4s^2 + 1 ) = 1s^2

Passo 5

Para isolar Y(s) , dividimos ambos os lados pela fração que está multiplicando Y(s) :
Y(s) = 1s^2 cdot s^2 + 1s^2 + 4
Simplificando a expressão:
Y(s) = s^2 + 1s^2 (s^2 + 4)

Passo 6

Vamos decompor essa fração em frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
s^2 + 1s^2 (s^2 + 4) = As + Bs^2 + Cs + Ds^2 + 4
Multiplicando ambos os lados por s^2 (s^2 + 4) :
s^2 + 1 = A s (s^2 + 4) + B (s^2 + 4) + (Cs + D) s^2
Expandindo e igualando os coeficientes:
s^2 + 1 = A s^3 + 4A s + B s^2 + 4B + Cs^3 + D s^2
Agrupando termos semelhantes:
s^2 + 1 = (A + C) s^3 + (B + D) s^2 + 4A s + 4B
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de s :
  1. s^3 : A + C = 0
  2. s^2 : B + D = 1
  3. s : 4A = 0
  4. s^0 : 4B = 1

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
  1. 4A = 0 A = 0
  2. A + C = 0 0 + C = 0 C = 0
  3. 4B = 1 B = 14
  4. B + D = 1 14 + D = 1 D = 34

Passo 8

Substituindo os valores encontrados de A , B , C e D na decomposição de frações parciais:
Y(s) = 0s + 1/4s^2 + 0 cdot s + 3/4s^2 + 4
Simplificando:
Y(s) = 14 s^2 + 34 (s^2 + 4)

Passo 9

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar y(t) :
y(t) = L^-1 14 s^2 + L^-1 34 (s^2 + 4)
Sabemos que:
L^-1 1s^2 = t
L^-1 1s^2 + a^2 = sin(a t)a
Aplicando isso:
y(t) = 14 t + 34 cdot sin(2 t)2
Simplificando:
y(t) = t4 + 3 sin(2 t)8

Resposta

A solução da equação é:
y(t) = t4 + 3 sin(2 t)8

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