Nos problemas 15-22, resolva a equação integral dada ou a equação integro-diferencial para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem essa equação integral:
Aqui, estamos trabalhando com equações integrais, que fazem parte do estudo de Equações Integrais e Equações Integro-Diferenciais. Para resolver isso, vamos usar Transformadas de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de equação. Precisamos lembrar que a Transformada de Laplace nos ajuda a transformar equações no domínio do tempo para o domínio de
, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de
é
, e a transformada de
é
. Então temos:
Isso simplifica para:
Aqui,
representa a convolução.
Passo 3
Agora, usamos a propriedade da Transformada de Laplace que diz que a transformada da convolução de duas funções é o produto das transformadas delas. Então:
Sabemos que:
Portanto, nossa equação fica:
Passo 4
Vamos fatorar
na equação:
Agora, vamos juntar os termos dentro do parênteses:
Simplificando:
Passo 5
Para isolar
, dividimos ambos os lados pela fração que está multiplicando
:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Vamos decompor essa fração em frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo e igualando os coeficientes:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
:
-
: -
: -
: -
:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
-
⇒ -
⇒ ⇒ -
⇒ -
⇒ ⇒
Passo 8
Substituindo os valores encontrados de
,
,
e
na decomposição de frações parciais:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar
:
Sabemos que:
Aplicando isso:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação é: