Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
x \cos (a x)

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a transformada de Laplace da função \,x\cos(a x)\,.
Informações dadas: a função é f(x)=x\cos(a x), onde a é uma constante (pode ser real). Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Definição (lembrando devagar): a transformada de Laplace de uma função f(x) é a função de s dada por
F(s)=\mathcal{L}\{f(x)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,f(x)\,dx,
quando essa integral converge. Aqui s é uma variável complexa; para funções como senos e cossenos a condição usual de convergência é \operatorname{Re}(s)>0. Vou usar essa definição quando precisar justificar convergência.

Passo 3

Transformada básica que vamos precisar: a transformada de \cos(a x). Vou obtê-la de forma curta e didática. Considere a integral
\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\cos(a x)\,dx.
Uma maneira limpa é usar números complexos: \cos(a x)=\Re(e^{i a x}), então
\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\cos(a x)\,dx = \Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-s x} e^{i a x}\,dx\right) = \Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i a)x}\,dx\right).
Para \operatorname{Re}(s)>0 temos
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i a)x}\,dx = \left[\frac{e^{-(s-i a)x}}{-(s-i a)}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s-i a}.
Tomando a parte real:
\mathcal{L}\{\cos(a x)\}(s)=\Re\!\left(\frac{1}{s-i a}\right)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{\cos(a x)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 4

Propriedade muito útil (e fácil de justificar a partir da definição): se F(s)=\mathcal{L}\{f(x)\}(s) então
\mathcal{L}\{x f(x)\}(s) = -\frac{d}{ds}F(s).
Explicando por que isso vale: comece de
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x} f(x)\,dx.
Diferenciando em s (permitido sob hipóteses de convergência) dá
\frac{d}{ds}F(s)=\int_{0}^{\infty} \frac{d}{ds}\big(e^{-s x}\big) f(x)\,dx = \int_{0}^{\infty} (-x)e^{-s x} f(x)\,dx = -\mathcal{L}\{x f(x)\}(s).
Isolando a transformada desejada obtemos a propriedade anunciada. Essa propriedade é prática: em vez de integrar diretamente x\cos(a x) (o que dá integração por partes complicada), podemos derivar a transformada de \cos(a x).

Passo 5

Aplicando a propriedade ao nosso caso: já temos
\mathcal{L}\{\cos(a x)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Logo
\mathcal{L}\{x\cos(a x)\}(s) = -\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right).
Agora calculamos a derivada passo a passo. Seja
G(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Usando a regra do quociente,
G'(s)=\frac{(1)(s^{2}+a^{2}) - s(2s)}{(s^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{s^{2}+a^{2}-2s^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{a^{2}-s^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
Assim
\mathcal{L}\{x\cos(a x)\}(s) = -G'(s) = -\frac{a^{2}-s^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.

Passo 6

Condição final de validade: a dedução usou a transformada de \cos(a x) e a troca de derivada por integral, portanto a expressão é válida para \operatorname{Re}(s)>0. Em resumo, chegamos à transformada final desejada.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{x\cos(a x)\}(s)=\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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