Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O que o problema pede: encontrar a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é , onde
é uma constante (pode ser real). Não há outras restrições no enunciado.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Definição (lembrando devagar): a transformada de Laplace de uma função
é a função de
dada por
quando essa integral converge. Aqui
é uma variável complexa; para funções como senos e cossenos a condição usual de convergência é
. Vou usar essa definição quando precisar justificar convergência.
Passo 3
Transformada básica que vamos precisar: a transformada de
. Vou obtê-la de forma curta e didática. Considere a integral
Uma maneira limpa é usar números complexos:
, então
Para
temos
Tomando a parte real:
Portanto
Passo 4
Propriedade muito útil (e fácil de justificar a partir da definição): se
então
Explicando por que isso vale: comece de
Diferenciando em
(permitido sob hipóteses de convergência) dá
Isolando a transformada desejada obtemos a propriedade anunciada. Essa propriedade é prática: em vez de integrar diretamente
(o que dá integração por partes complicada), podemos derivar a transformada de
.
Passo 5
Aplicando a propriedade ao nosso caso: já temos
Logo
Agora calculamos a derivada passo a passo. Seja
Usando a regra do quociente,
Assim
Passo 6
Condição final de validade: a dedução usou a transformada de
e a troca de derivada por integral, portanto a expressão é válida para
. Em resumo, chegamos à transformada final desejada.