1. Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções f:[0,+infinito) -> R a seguir:
    (g) f(t) = t cosh(a t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos trabalhar com as propriedades da transformada de Laplace e entender um pouco sobre funções hiperbólicas, como o cosseno hiperbólico ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta que transforma uma função do tempo para uma função no domínio de frequência . A definição é:

Passo 3

Sabemos que o cosseno hiperbólico é definido por:
Mas para facilitar nossos cálculos, vamos usar a transformada de Laplace da função , que é uma tabela comum:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a transformada de . Existe uma propriedade da transformada de Laplace que nos ajuda aqui:
Isso significa que a transformada de é o negativo da derivada da transformada de em relação a .

Passo 5

Vamos aplicar essa propriedade. Primeiro, calculamos a derivada de :
Usando a regra do quociente, temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, aplicamos a propriedade mencionada no Passo 4:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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