- Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções
a seguir:
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos trabalhar com as propriedades da transformada de Laplace e entender um pouco sobre funções hiperbólicas, como o cosseno hiperbólico (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta que transforma uma função do tempo
para uma função no domínio de frequência
. A definição é:
Passo 3
Sabemos que o cosseno hiperbólico é definido por:
Mas para facilitar nossos cálculos, vamos usar a transformada de Laplace da função
, que é uma tabela comum:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a transformada de
. Existe uma propriedade da transformada de Laplace que nos ajuda aqui:
Isso significa que a transformada de
é o negativo da derivada da transformada de
em relação a
.
Passo 5
Vamos aplicar essa propriedade. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Usando a regra do quociente, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos a propriedade mencionada no Passo 4:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: