(a) , onde f(t) = { 1, 0 <= t < 3 pi; 0, t >= 3 pi }
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
onde a função é definida por:
Vamos resolver essa equação usando técnicas de equações diferenciais, especificamente encontrando a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como é uma função constante igual a 1 para , vamos procurar uma solução particular constante. Suponha que , onde é uma constante. Substituindo na equação:
Portanto, uma solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar e .
Primeira condição inicial:
Substituindo na solução geral:
Segunda condição inicial:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Substituindo :
Resposta
Substituindo os valores de e na solução geral, temos para :
Para , a função , então a equação diferencial homogênea continua sendo:
As constantes e para podem ser determinadas garantindo a continuidade de e em .