1. Resolva o problema de valor inicial através de uma série de potências.
    (b) (1-x) y'' + x y' - y = 0; y(0) = -3; y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando uma série de potências. O que a gente tem aqui é a seguinte equação diferencial:
Vamos precisar de conhecimentos sobre séries de potências, derivadas de séries e como aplicar tudo isso para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser representada por uma série de potências centrada em (série de Taylor). Isso significa que:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial:
Substituindo as séries:

Passo 5

Vamos distribuir e reindexar as séries para que todas fiquem na mesma potência de .
Primeiro termo distribuído:
Reindexando:
Para a primeira parte, deixamos :
Para a segunda parte, deixamos :
O segundo termo da equação:
E o terceiro termo já está indexado corretamente:
Agora, juntando tudo:

Passo 6

Para que essa equação valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero. Vamos analisar isso termo a termo.
Para :
Para :
Simplificando:

Passo 7

Vamos usar essas relações para encontrar os coeficientes . Primeiro, precisamos das condições iniciais.
Sabemos que:
Agora, já temos e . Vamos achar usando :
Para :
Para :
E assim por diante. Podemos continuar esse processo para encontrar mais coeficientes se necessário.

Resposta

A solução aproximada do problema de valor inicial, usando a série de potências, é:

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