- Resolva o problema de valor inicial através de uma série de potências.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando uma série de potências. O que a gente tem aqui é a seguinte equação diferencial:
Vamos precisar de conhecimentos sobre séries de potências, derivadas de séries e como aplicar tudo isso para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser representada por uma série de potências centrada em
(série de Taylor). Isso significa que:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Substituindo as séries:
Passo 5
Vamos distribuir e reindexar as séries para que todas fiquem na mesma potência de
.
Primeiro termo distribuído:
Reindexando:
Para a primeira parte, deixamos
:
Para a segunda parte, deixamos
:
O segundo termo da equação:
E o terceiro termo já está indexado corretamente:
Agora, juntando tudo:
Passo 6
Para que essa equação valha para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero. Vamos analisar isso termo a termo.
Para
:
Para
:
Simplificando:
Passo 7
Vamos usar essas relações para encontrar os coeficientes
. Primeiro, precisamos das condições iniciais.
Sabemos que:
Agora, já temos
e
. Vamos achar
usando
:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Podemos continuar esse processo para encontrar mais coeficientes se necessário.
Resposta
A solução aproximada do problema de valor inicial, usando a série de potências, é: