- Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções
a seguir:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a transformada de Laplace da função
. A transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita a resolução de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e as propriedades das funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace. Para uma função
, a transformada de Laplace
é dada por:
No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na definição da transformada:
Passo 4
Sabemos que a função seno hiperbólico
pode ser expressa em termos de exponenciais:
Vamos substituir essa expressão na integral:
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 6
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 7
Substituindo os resultados das integrais na expressão anterior:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Portanto:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: