1. Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções f:[0,+infinito) -> R a seguir:
    (b) f(t) = senh(a t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a transformada de Laplace da função . A transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita a resolução de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e as propriedades das funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace. Para uma função , a transformada de Laplace é dada por:
No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos substituir na definição da transformada:

Passo 4

Sabemos que a função seno hiperbólico pode ser expressa em termos de exponenciais:
Vamos substituir essa expressão na integral:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 6

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:
á

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais na expressão anterior:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
Portanto:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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