Se f for uma função quadrática tal que f(0)=1 e
integral f(x)x^2(x+1)^3
for uma função racional, encontre o valor de f^prime(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função quadrática que satisfaz e a integral é uma função racional. Nosso objetivo é encontrar o valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo e álgebra, como integração de funções racionais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, como f(x) = ax^2 + bx + c é uma função quadrática, podemos escrevê-la na forma geral:
f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 1
Sabemos que f(x) = ax^2 + bx + 1 , então substituindo :
Portanto, a função fica:

Passo 3

Agora, queremos que a integral
integral f(x)x^2(x+1)^3 dx
seja uma função racional. Isso significa que, ao integrar, não devemos obter termos como logaritmos ou funções irredutíveis. Para que isso aconteça, precisamos que a fração possa ser decomposta em frações parciais sem termos que gerem logaritmos na integral.

Passo 4

Vamos fazer a decomposição em frações parciais de f(x)x^2(x+1)^3 = Ax + Bx^2 + C(x+1) + D(x+1)^2 + E(x+1)^3 :
f(x) = A x (x+1)^3 + B (x+1)^3 + C x^2 (x+1)^2 + D x^2 (x+1) + E x^2
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Expandindo e agrupando os termos por potências de ax^2 + bx + 1 = (A + C)x^4 + (3A + 2C + D)x^3 + (3A + C + 3B + 2D + E)x^2 + (A + 3B + D)x + B , igualamos os coeficientes de :
Agora, igualamos os coeficientes de potências iguais dos dois lados da equação.

Passo 6

Igualando os coeficientes, temos o seguinte sistema de equações:
A + C = 0 & (coeficiente de x^4) 3A + 2C + D = 0 & (coeficiente de x^3) 3A + C + 3B + 2D + E = a & (coeficiente de x^2) A + 3B + D = b & (coeficiente de x) B = 1 & (termo constante)
Sabemos que a partir da última equação.

Passo 7

Resolvendo o sistema passo a passo:
  1. De 3A + 2(-A) + D = 0 Rightarrow A + D = 0 Rightarrow D = -A , já temos A + 3(1) + (-A) = b Rightarrow 3 = b .
  2. Da primeira equação, , então .
  3. Da segunda equação, substituindo :
  1. Da quarta equação, substituindo e :
Então, .

Passo 8

Agora, já encontramos f'(0) = 2a(0) + b = b = 3 . Como , então:

Resposta

O valor de é .

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