Beleza, vamos lá! Você tem uma função quadrática que satisfaz e a integral é uma função racional. Nosso objetivo é encontrar o valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo e álgebra, como integração de funções racionais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, como é uma função quadrática, podemos escrevê-la na forma geral:
Sabemos que , então substituindo :
Portanto, a função fica:
Passo 3
Agora, queremos que a integral
seja uma função racional. Isso significa que, ao integrar, não devemos obter termos como logaritmos ou funções irredutíveis. Para que isso aconteça, precisamos que a fração possa ser decomposta em frações parciais sem termos que gerem logaritmos na integral.
Passo 4
Vamos fazer a decomposição em frações parciais de :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Expandindo e agrupando os termos por potências de , igualamos os coeficientes de :
Agora, igualamos os coeficientes de potências iguais dos dois lados da equação.
Passo 6
Igualando os coeficientes, temos o seguinte sistema de equações:
Sabemos que a partir da última equação.
Passo 7
Resolvendo o sistema passo a passo:
De 3A + 2(-A) + D = 0 Rightarrow A + D = 0 Rightarrow D = -A , já temos A + 3(1) + (-A) = b Rightarrow 3 = b .
Da primeira equação, , então .
Da segunda equação, substituindo :
Da quarta equação, substituindo e :
Então, .
Passo 8
Agora, já encontramos f'(0) = 2a(0) + b = b = 3 . Como , então: