Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:
f(t)=e^a t sen(b t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a transformada de Laplace de uma função que é a combinação de uma exponencial e um seno, ou seja, f(t) = e^a t sen(b t). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace e usar a fórmula específica para funções do tipo exponencial vezes seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo, f(t), numa função de uma variável complexa, s. A fórmula geral é:
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt
No nosso caso, f(t) = e^a t sen(b t), então vamos substituir na fórmula:
Le^a t sen(b t) = integral0^infty e^-s t e^a t sen(b t) , dt

Passo 3

Agora, vamos simplificar a parte dos expoentes. A gente tem e^-s t multiplicado por e^a t, que dá:
e^-s t cdot e^a t = e^(a - s) t
Então, a integral fica assim:
Le^a t sen(b t) = integral0^infty e^(a - s) t sen(b t) , dt

Passo 4

Essa integral específica já tem uma transformada conhecida. A transformada de Laplace de e^a t sen(b t) é dada por:
Le^a t sen(b t) = b(s - a)^2 + b^2
Essa fórmula vem de tabelas de transformadas de Laplace ou pode ser derivada usando técnicas de integração por partes e identidades trigonométricas.

Resposta

A transformada de Laplace de f(t) = e^a t sen(b t) é:
Lf(t) = b(s - a)^2 + b^2

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