Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a transformada de Laplace de uma função que é a combinação de uma exponencial e um seno, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace e usar a fórmula específica para funções do tipo exponencial vezes seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo,
, numa função de uma variável complexa,
. A fórmula geral é:
No nosso caso,
, então vamos substituir na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a parte dos expoentes. A gente tem
multiplicado por
, que dá:
Então, a integral fica assim:
Passo 4
Essa integral específica já tem uma transformada conhecida. A transformada de Laplace de
é dada por:
Essa fórmula vem de tabelas de transformadas de Laplace ou pode ser derivada usando técnicas de integração por partes e identidades trigonométricas.
Resposta
A transformada de Laplace de
é: