Qual é a Transformada Inversa de Laplace de F(s)=\frac{7}{s^{2}+9} ?

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{7}{s^{2}+9}.
O conteúdo envolve o uso da tabela de pares de Laplace e a propriedade de linearidade. Em particular, vamos usar a transformada inversa de \displaystyle \frac{a}{s^{2}+a^{2}}, que gera \sin(at).

Passo 2

Recordando o par de transformadas de Laplace:
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Isso significa que, para inverter uma forma \displaystyle \frac{a}{s^{2}+a^{2}}, obtemos \sin(at).

Passo 3

Ajustamos F(s) para caber nesse formato. Note que
\frac{7}{s^{2}+9} =\frac{7}{s^{2}+3^{2}} =\frac{7}{3}\;\frac{3}{s^{2}+3^{2}}.

Passo 4

Pela linearidade da transformada inversa e pelo par acima, temos
\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{3}{s^{2}+3^{2}}\biggr\} =\sin(3t),
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f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} =\frac{7}{3}\,\sin(3t).

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{7}{3}\sin(3t).

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