Dê exemplos de funções f e g tais que:
lim x infty f(x)=infty, lim x infty g(x)=infty e lim x infty f(x)g(x)=0;

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos duas funções f e g tais que ambas tendem a infinito quando xtoinfty, mas de forma que a razão f(x)g(x) tenda a zero. O conteúdo aqui é comparar velocidades de crescimento de funções para ver qual cresce “mais devagar”.

Passo 2

Um exemplo clássico é
f(x)=ln(x), g(x)=x
De fato, pela propriedade dos logaritmos,
limxtoinftyf(x)=limxtoinftyln(x)=infty, limxtoinftyg(x)=limxtoinftyx=infty,
e
limxtoinftyf(x)g(x) =limxtoinftyln(x)x=0,
pois x cresce muito mais rápido que ln(x).

Passo 3

Outro exemplo simples é escolher potências de x com expoentes diferentes:
f(x)=x, g(x)=x^2
Aqui
limxtoinftyf(x)=infty, limxtoinftyg(x)=infty,
e
limxtoinftyf(x)g(x) =limxtoinftyxx^2 =limxtoinfty1x=0

Resposta

Um par de exemplos é:
(a) f(x)=ln(x) e g(x)=x.
(b) f(x)=x e g(x)=x^2.

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