Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<2 \\\ (t-2)^{2}, & t \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)= \begin{cases} 0, & 0 \le t<2,\\\ (t-2)^2, & t\ge2, \end{cases}
e pede a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}. Vamos usar a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
e também reconhecer que f(t)=(t-2)^2 só “liga” a partir de t=2, ou seja, usa‐se o passo unitário em t=2.

Passo 2

Escrevendo diretamente pela definição, como f(t)=0 para t<2,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt =\int_{2}^{\infty}(t-2)^2\,e^{-st}\,dt.

Passo 3

Para simplificar essa integral, fazemos a mudança de variável
u = t-2, \quad t = u+2, \quad dt=du,
e, quando t=2, u=0, e quando t\to\infty, u\to\infty. Assim
\int_{2}^{\infty}(t-2)^2\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}u^2\,e^{-s(u+2)}\,du =e^{-2s}\int_{0}^{\infty}u^2\,e^{-su}\,du.

Passo 4

Reconhecemos que
\int_{0}^{\infty}u^2\,e^{-su}\,du
é a integral típica da definição da transformada de u^2, dado por
\int_{0}^{\infty}u^n\,e^{-su}\,du =\frac{n!}{s^{n+1}} \quad(n=2\Rightarrow n!=2).
Logo
\int_{0}^{\infty}u^2\,e^{-su}\,du =\frac{2}{s^3}.

Passo 5

Voltando à expressão com o fator e^{-2s}, obtemos
\mathcal{L}\{f(t)\} =e^{-2s}\cdot\frac{2}{s^3} =\frac{2\,e^{-2s}}{s^3}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{2\,e^{-2s}}{s^3}.}

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