Encontre a transformada de Laplace inversa das funções
Passo 1
O que o problema pede: encontrar a transformada de Laplace inversa da função
Informações dadas:
- A expressão no domínio de
é . - Não há outras condições explícitas, então queremos a função no tempo
. - Devemos devolver a função
tal que .
Passo 2
Princípio que vamos usar (teorema do atraso / segunda propriedade de deslocamento):
Se
Se
então, para qualquer
onde
é a função de Heaviside (função degrau) definida por
Explicando as variáveis:
- .
-
é o tempo de atraso (aqui será ). -
representa a função deslocada para a direita em unidades e “ligada” apenas a partir de .
Breve justificativa (intuição): ao calcular a transformada de Laplace de
fazemos a mudança de variável
e aparece o fator
, daí a fórmula acima. Portanto, se tivermos um fator
multiplicando
, a inversa será
.]
Passo 3
Primeiro, encontramos a transformada inversa de
(sem o fator exponencial). Para isso, fazemos frações parciais.
Montamos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Escolhendo valores convenientes de
para achar
e
:
- Para
:
- Para
:
Logo,
Passo 4
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembre que
para
.
Portanto,
Podemos escrever isso de forma mais compacta usando a função seno hiperbólico
, lembrando que
. Assim,
Chamemos esta função de
:
Passo 5
Voltemos ao fator
presente no enunciado. Pelo teorema do atraso visto no Passo 2, temos que
onde
e
.
Portanto a transformada inversa pedida é
Se quiser ver em forma exponencial:
Interpretação prática: para
vale
. A partir de
a função passa a ser
.
Passo 6
Verificação rápida (checar achatamento mental): aplicar a transformada de Laplace em
dá
por mudança de variável — isso recupera exatamente a função original no enunciado. Portanto a resposta está consistente.
Exemplo extra (curto): se tivéssemos
, a inversa seria
— mesma ideia do deslocamento.