Encontre a transformada de Laplace das funções dadas.
f(t)=t-u_{1}(t-1), t \geqslant 0

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
\displaystyle f(t)=t - u_{1}(t-1), para t\ge0.
O conteúdo aqui é a transformada de Laplace de funções simples: o termo t e o termo que envolve um degrau unitário deslocado. Vamos usar as fórmulas
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}
e
\mathcal{L}\{u(t-a)\}(s)=\frac{e^{-as}}{s}\quad(a>0).

Passo 2

Calculamos \mathcal{L}\{t\}(s). Pela definição de transformada,
\mathcal{L}\{t\}(s) =\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt =\frac{1}{s^{2}}.

Passo 3

Agora, para u_{1}(t-1) interpretamos u_{1}(t-1) como o degrau unitário deslocado de amplitude 1 em t=1. Aplicando a fórmula do segundo teorema de deslocamento,
\mathcal{L}\{u_{1}(t-1)\}(s) =\mathcal{L}\{u(t-1)\}(s) =\frac{e^{-1\cdot s}}{s} =\frac{e^{-s}}{s}.

Passo 4

Como a transformada é linear, temos
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\mathcal{L}\{t\}(s) -\mathcal{L}\{u_{1}(t-1)\}(s) =\frac{1}{s^{2}} - \frac{e^{-s}}{s}.

Resposta

\mathcal{L}\{\,t - u_{1}(t-1)\,\}(s) =\frac{1}{s^{2}} - \frac{e^{-s}}{s}.

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