Resolva os problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=h(t) \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array} \quad\right. onde h(t)=\left\{\begin{array}{ll}1, & \pi \leqslant t<2 \pi \\\\ 0, & 0 \leqslant t<\pi \mathrm{e} t \geqslant 2 \pi\end{array}\right..

Passo 1

O problema é a EDO linear não homogênea de 2\)º ordem \[y''+2y'+2y = h(t),
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, onde
h(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t<\pi,\\\\ 1, & \pi\le t<2\pi,\\\\ 0, & t\ge2\pi. \end{cases}
Para resolver vamos ( 1\]) achar a solução do homogêneo através da equação característica, e (\(2) obter uma solução particular por convolução (resposta ao impulso).

Passo 2

Equação homogênea
y''+2y'+2y=0
tem equação característica
r^2+2r+2=0\;\Longrightarrow\;r=-1\pm i.
Logo a solução geral do homogêneo é
y_h(t)=e^{-t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr).
Impondo y(0)=0 e y'(0)=1 obtemos C_1=0 e C_2=1, portanto
y_h(t)=e^{-t}\sin t.

Passo 3

Como operador inverso temos a resposta ao impulso
g(t)=e^{-t}\sin t\quad(\text{para }t\ge0),
de modo que uma solução particular é dada por
y_p(t)=\int_{0}^{t}h(\tau)\,g\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau =\int_{0}^{t}h(\tau)\,e^{-(t-\tau)}\sin\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau.
A solução completa é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =e^{-t}\sin t+\int_{0}^{t}h(\tau)\,e^{-(t-\tau)}\sin(t-\tau)\,d\tau.

Passo 4

Para 0\le t<\pi temos h(\tau)=0 em [0,t], logo
y(t)=e^{-t}\sin t,\quad 0\le t<\pi.

Passo 5

Para \pi\le t<2\pi a integral vai só de \tau=\pi até \tau=t. Fazendo u=t-\tau obtemos
y_p(t) =\int_{\pi}^{t}e^{-(t-\tau)}\sin(t-\tau)\,d\tau =\int_{0}^{\,t-\pi}e^{-u}\sin u\,du.
Calculamos
\int_{0}^{A}e^{-u}\sin u\,du =-\tfrac12e^{-u}(\sin u+\cos u)\Big|_{0}^{A} =\tfrac12-\tfrac12e^{-A}\bigl(\sin A+\cos A\bigr).
Aqui A=t-\pi. Assim, para \pi\le t<2\pi,
y(t) =e^{-t}\sin t +\Bigl[\tfrac12-\tfrac12e^{-(t-\pi)}\bigl(\sin(t-\pi)+\cos(t-\pi)\bigr)\Bigr].
Como \sin(t-\pi)=-\sin t e \cos(t-\pi)=-\cos t, podemos reescrever
y(t) =e^{-t}\sin t +\tfrac12 +\tfrac12\,e^{-(t-\pi)}\bigl(\sin t+\cos t\bigr).

Passo 6

Para t\ge2\pi o forçamento ocorre só em \tau\in[\pi,2\pi], então
y_p(t) =\int_{\pi}^{2\pi}e^{-(t-\tau)}\sin(t-\tau)\,d\tau =e^{-t}\int_{0}^{\pi}e^{u}\sin u\,du,
mas atenção: ao trocar o sinal do expoente obtemos de novo a mesma forma
\int_{0}^{\pi}e^{-u}\sin u\,du =\tfrac12-\tfrac12e^{-\pi}(\underbrace{\sin\pi}_{0}+\underbrace{\cos\pi}_{-1}) =\tfrac12+\tfrac12e^{-\pi}.
Logo, para t\ge2\pi,
y(t) =e^{-t}\sin t +\Bigl(\tfrac12+\tfrac12e^{-\pi}\Bigr).

Resposta

Portanto a solução em partes é
\boxed{ y(t)= \begin{cases} e^{-t}\sin t, & 0\le t<\pi,\\[6pt] e^{-t}\sin t +\dfrac12 +\dfrac12\,e^{-(t-\pi)}\bigl(\sin t+\cos t\bigr), & \pi\le t<2\pi,\\[6pt] e^{-t}\sin t +\dfrac12+\dfrac12e^{-\pi}, & t\ge2\pi. \end{cases} }]

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