Nos problemas abaixo, use as propriedades vista no Exercício P3. para encontrar a transformada inversa de Laplace das funções dadas.
F(s)=\frac{1}{9 s^{2}-12 s+3}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{1}{9s^{2}-12s+3}\,.
O conteúdo envolve completar o quadrado para reescrever o denominador como 9(s-a)^{2}-b^{2} e usar o teorema do deslocamento s\mapsto s-a junto com a transformada conhecida de \operatorname{sinh}.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador. Escrevemos
9s^{2}-12s+3 =9\bigl(s^{2}-\tfrac{4}{3}s\bigr)+3 =9\Bigl[\bigl(s-\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}-\tfrac{4}{9}\Bigr]+3 =9\bigl(s-\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}-4+3 =9\bigl(s-\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}-1.
Logo,
F(s) =\frac{1}{9(s-\tfrac{2}{3})^{2}-1} =\;G\bigl(s-\tfrac{2}{3}\bigr),
onde definimos
G(u)=\frac{1}{9u^{2}-1}\quad\text{com }u=s-\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Agora encontramos a inversa de Laplace de G(u). Note que
9u^{2}-1 = 9\bigl(u^{2}-\tfrac{1}{9}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad G(u)=\frac{1}{9}\,\frac{1}{u^{2}-(\tfrac{1}{3})^{2}} =\frac{1}{9}\,\frac{1}{u^{2}-\alpha^{2}}
com \alpha=\tfrac{1}{3}. Sabemos que
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(\alpha t)\}(u) =\frac{\alpha}{u^{2}-\alpha^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{u^{2}-\alpha^{2}} =\frac{1}{\alpha}\,\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(\alpha t)\}(u).
Substituindo em G(u):
G(u)=\frac{1}{9}\,\frac{1}{u^{2}-\alpha^{2}} =\frac{1}{9}\,\frac{1}{\alpha}\,\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(\alpha t)\}(u) =\frac{1}{3}\,\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(\tfrac{1}{3}t)\}(u).
Portanto a inversa de Laplace de G(u) é
g(t)=\frac{1}{3}\,\operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{1}{3}t\bigr).

Passo 4

Finalmente, aplicamos o teorema do deslocamento: se
F(s)=G(s-a),
então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t) =e^{at}\,g(t).
Aqui a=\tfrac{2}{3}, logo
f(t) =\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t) =e^{\tfrac{2}{3}t}\,\frac{1}{3}\,\operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{1}{3}t\bigr).

Resposta

\boxed{f(t)=\frac{1}{3}\,e^{\frac{2}{3}t}\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{1}{3}t\bigr).}

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