\iint_{S} z d S,
S é a superfície x=y+2 z^{2}, 0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1

Passo 1

Resumindo, queremos calcular a integral de superfície
\iint_{S} z\,dS
onde S é dada implicitamente por
x = y + 2z^{2},\quad 0 \le y \le 1,\;0 \le z \le 1.
Este é um caso de integral de superfície de função escalar, que fazemos parametrizando S em termos de y e z e usando
dS = \bigl\lvert \mathbf{r}_{y}\times \mathbf{r}_{z}\bigr\rvert\,dy\,dz.

Passo 2

Parametrizamos S por
\mathbf{r}(y,z) = \bigl(y + 2z^{2},\,y,\,z\bigr).
Então
\mathbf{r}_{y} = (1,1,0), \qquad \mathbf{r}_{z} = (4z,0,1).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_{y}\times \mathbf{r}_{z} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 4z & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1,\,-1,\,-4z),
e seu módulo é
\bigl\lvert \mathbf{r}_{y}\times \mathbf{r}_{z}\bigr\rvert = \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(-4z)^{2}} = \sqrt{2 + 16z^{2}}.

Passo 3

Substituindo em \iint_{S} z\,dS, obtemos
\iint_{S} z\,dS = \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1} z\,\sqrt{2 + 16z^{2}}\;dy\,dz.
Como não há y na integranda, a integração em y dá 1, restando
\int_{0}^{1} z\,\sqrt{2 + 16z^{2}}\;dz.

Passo 4

Para calcular
\int_{0}^{1} z\,\sqrt{2 + 16z^{2}}\;dz,
fazemos u = 2 + 16z^{2}, logo du = 32z\,dz e z\,dz = du/32. Quando z=0, u=2; quando z=1, u=18. Assim
\int_{0}^{1} z\,\sqrt{2 + 16z^{2}}\,dz = \frac{1}{32}\int_{2}^{18} u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{32}\cdot \frac{2}{3}\bigl[u^{\tfrac32}\bigr]_{2}^{18} = \frac{1}{48}\bigl(18^{\tfrac32}-2^{\tfrac32}\bigr).

Passo 5

Calculando as potências:
18^{\tfrac32} = ( \sqrt{18} )^{3} = (3\sqrt2)^{3} = 54\sqrt2, \qquad 2^{\tfrac32} = 2\sqrt2.
Logo
\frac{1}{48}\bigl(54\sqrt2 - 2\sqrt2\bigr) = \frac{52\sqrt2}{48} = \frac{13\sqrt2}{12}.

Resposta

\iint_{S} z\,dS = \frac{13\sqrt2}{12}.

Exercícios relacionados