Utilize o teste da comparação no limite para determinar se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-2}{n^{3}-n^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n-2}{n^{3}-n^{2}+3}
converge ou diverge, usando o teste da comparação no limite. Vamos lembrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Para aplicar o teste da comparação no limite precisamos de termos positivos a partir de algum n. Note que para n\ge3 temos n-2>0 e n^{3}-n^{2}+3>0, logo
a_{n}=\frac{n-2}{n^{3}-n^{2}+3}>0\quad(n\ge3).

Passo 3

Escolhemos como comparação a série p-com p=2:
b_{n}=\frac{1}{n^{2}}\quad\text{(série convergente, pois \(p=2>1\)).}é
Calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n-2}{n^{3}-n^{2}+3}}{\frac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}(n-2)}{\,n^{3}-n^{2}+3\,} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}-2n^{2}}{n^{3}-n^{2}+3} =1.

Passo 4

Como o limite é finito e não nulo ( =1), e a série \sum b_{n}=\sum1/n^{2} é convergente, segue do teste da comparação no limite que a série \sum a_{n} também converge.

Resposta

A série converge.

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