Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=t^{10} e^{-7 t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=t^{10}e^{-7t}.
O conteúdo envolvido é a definição da transformada de Laplace e o uso da integral de Gamma para potências de t.

Passo 2

Pela definição, a transformada de Laplace de f(t) é
\mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-s t}\,dt =\int_{0}^{\infty}t^{10}e^{-7t}\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}t^{10}e^{-(s+7)t}\,dt.

Passo 3

Reconhecemos que
\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-a t}\,dt =\frac{n!}{a^{\,n+1}} \quad(\Re(a)>0,\;n\in\mathbb{N})
é a integral que define a função Gamma para n inteiro.

Passo 4

Aqui n=10 e a=s+7. Logo,
\int_{0}^{\infty}t^{10}e^{-(s+7)t}\,dt =\frac{10!}{(s+7)^{11}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{10}e^{-7t}\}(s) =\frac{10!}{(s+7)^{11}}.

Exercícios relacionados