Usando a definição da transformada de Laplace, mostre que
para
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
, ou seja, mostrar que
valendo para
. O conteúdo aqui é a definição da transformada de Laplace e o critério de convergência de integrais de funções exponenciais.
Passo 2
Pela definição, a transformada de Laplace de uma função
é
desde que a integral convirga. No nosso caso precisamos de
para garantir convergência quando aparecer
.
Passo 3
Aplicando a definição em
, temos
Passo 4
Podemos juntar os expoentes:
Logo a integral vira
Passo 5
Usamos o resultado clássico de integração de exponencial:
Aqui
e
, portanto a condição de convergência está satisfeita.
Passo 6
Substituindo
, obtemos
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