Usando a definição da transformada de Laplace, mostre que \mathcal{L}\left\{e^{i a t}\right\}=\frac{1}{s-i a} para s>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t)=e^{i a t}, ou seja, mostrar que
\mathcal{L}\{e^{i a t}\}=\frac{1}{s - i a},
valendo para s>0. O conteúdo aqui é a definição da transformada de Laplace e o critério de convergência de integrais de funções exponenciais.

Passo 2

Pela definição, a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,f(t)\,dt,
desde que a integral convirga. No nosso caso precisamos de \Re(s)>0 para garantir convergência quando aparecer \exp(-s t).

Passo 3

Aplicando a definição em f(t)=e^{i a t}, temos
\mathcal{L}\{e^{i a t}\} =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,e^{i a t}\,dt.

Passo 4

Podemos juntar os expoentes:
e^{-s t}\,e^{i a t} =e^{-(s - i a)\,t}.
Logo a integral vira
\int_{0}^{\infty}e^{-(s - i a)\,t}\,dt.

Passo 5

Usamos o resultado clássico de integração de exponencial:
\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha t}\,dt =\frac{1}{\alpha}, \quad\text{desde que }\Re(\alpha)>0.
Aqui \alpha = s - i a e \Re(\alpha)=s>0, portanto a condição de convergência está satisfeita.

Passo 6

Substituindo \alpha=s - i a, obtemos
\int_{0}^{\infty}e^{-(s - i a)\,t}\,dt =\frac{1}{s - i a}.
Logo
\mathcal{L}\{e^{i a t}\} =\frac{1}{s - i a}.

Resposta

\frac{1}{s - i a}.

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