Use o problema anterior e o fato de que \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
f(t)=t^{-1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t^{-1/2}. Para resolver, vamos usar a definição da transformada de Laplace junto com a representação integral da função Gama:
\int_{0}^{\infty} t^{a-1}e^{-st}\,dt = s^{-a}\,\Gamma(a),
válida para \Re(a)>0 e \Re(s)>0. Também sabemos que \Gamma\bigl(\tfrac12\bigr)=\sqrt{\pi}.

Passo 2

Escrevendo diretamente a definição da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{t^{-1/2}\}(s) =\int_{0}^{\infty}t^{-1/2}e^{-st}\,dt.
Para usar a fórmula da Gama, identifique t^{-1/2}=t^{a-1}, ou seja, a-1=-\tfrac12.

Passo 3

Da igualdade a-1=-\tfrac12 obtemos a=\tfrac12. Logo, aplicando
\int_{0}^{\infty}t^{a-1}e^{-st}\,dt = s^{-a}\Gamma(a),
com a=\tfrac12, temos
\mathcal{L}\{t^{-1/2}\}(s) = s^{-1/2}\,\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr).

Passo 4

Substituindo \Gamma\bigl(\tfrac12\bigr)=\sqrt{\pi}, concluímos
\mathcal{L}\{t^{-1/2}\}(s) = \sqrt{\pi}\,s^{-1/2} = \sqrt{\frac{\pi}{s}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{-1/2}\}(s) = \sqrt{\pi}\,s^{-1/2} = \sqrt{\frac{\pi}{s}},\quad \Re(s)>0.

Exercícios relacionados