Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=t^{2} \operatorname{sen} b t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=t^{2}\sin(bt),
ou seja, queremos \mathcal{L}\{t^{2}\sin(bt)\}(s). O conteúdo envolvido é a propriedade que relaciona multiplicação por t^n com derivadas em s e a transformada de \sin(bt).

Passo 2

Sabemos que
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}
e que, para n inteiro,
\mathcal{L}\{t^{n}f(t)\}(s)=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}\bigl[F(s)\bigr]
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s). Aqui temos n=2, de modo que
\mathcal{L}\{t^{2}\sin(bt)\}(s) =\frac{d^{2}}{ds^{2}}\!\Bigl[\frac{b}{s^{2}+b^{2}}\Bigr].

Passo 3

Defina
F(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.
Vamos calcular F'(s):
F'(s) =-b\cdot\frac{2s}{(s^{2}+b^{2})^{2}} =-\frac{2bs}{(s^{2}+b^{2})^{2}}.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada F''(s). Tomando derivada de -2b\,s\,(s^{2}+b^{2})^{-2} por s, obtemos
F''(s) =2b\,\frac{3s^{2}-b^{2}}{(s^{2}+b^{2})^{3}}.

Passo 5

Portanto, aplicando a propriedade de multiplicação por t^{2}, concluímos que
\mathcal{L}\{t^{2}\sin(bt)\}(s) =F''(s) = \frac{2b\,(3s^{2}-b^{2})}{(s^{2}+b^{2})^{3}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}\sin(bt)\}(s) = \frac{2b\,(3s^{2}-b^{2})}{(s^{2}+b^{2})^{3}}.

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