Use o problema anterior e o fato de que \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
f(t)=t^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t^{1/2}. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace via integral e relacioná-la à função Gama.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{t^{p}\}(s)=\int_{0}^{\infty}t^{p}e^{-st}\,dt.
Fazendo a mudança de variável u=st nessa integral, obtém-se
\int_{0}^{\infty}t^{p}e^{-st}\,dt =s^{-p-1}\int_{0}^{\infty}u^{p}e^{-u}\,du =s^{-p-1}\,\Gamma(p+1),
onde usamos a definição da função Gama \Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty}u^{p}e^{-u}du.

Passo 3

No nosso caso, p=\tfrac12. Logo,
\mathcal{L}\{t^{1/2}\}(s) =\frac{\Gamma\bigl(\tfrac12+1\bigr)}{s^{\tfrac12+1}} =\frac{\Gamma\bigl(\tfrac32\bigr)}{s^{3/2}}.
Para calcular \Gamma(\tfrac32), usamos a relação de recorrência
\Gamma\bigl(z+1\bigr)=z\,\Gamma(z).
Tomando z=\tfrac12, vem
\Gamma\bigl(\tfrac32\bigr) =\tfrac12\,\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr) =\tfrac12\,\sqrt{\pi}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{1/2}\}(s)=\frac{\sqrt{\pi}}{2\,s^{3/2}}

Exercícios relacionados