Use o problema anterior e o fato de que \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
f(t)=t^{3 / 2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t^{3/2}, usando a fórmula geral que envolve a função Gama e o valor \Gamma\bigl(\tfrac12\bigr)=\sqrt{\pi}. Vamos precisar lembrar que, para \alpha>-1,
\mathcal{L}\{t^{\alpha}\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{\alpha}\,\mathrm{d}t =\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}.

Passo 2

Aplicamos essa fórmula com \alpha=\tfrac{3}{2}. Então o expoente do denominador será \alpha+1=\tfrac{5}{2} e precisamos calcular \Gamma\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr).

Passo 3

Usamos a relação de recorrência \Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z) em cadeia:
\Gamma\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr) =\frac{3}{2}\,\Gamma\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr) =\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\,\Gamma\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr) =\frac{3}{4}\,\sqrt{\pi}.
Substituindo em
\mathcal{L}\{t^{3/2}\}(s) =\frac{\Gamma\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)}{s^{5/2}}
obtemos
\mathcal{L}\{t^{3/2}\}(s) =\frac{\tfrac{3}{4}\sqrt{\pi}}{s^{5/2}} =\frac{3\sqrt{\pi}}{4\,s^{5/2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{3/2}\}(s)=\frac{3\sqrt{\pi}}{4\,s^{5/2}}.

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