Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir.
f(t)=t^2 e^t H(t-3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = t^2 e^t H(t-3) . Aqui, estamos lidando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas pra transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente para funções multiplicadas por exponenciais e a função de Heaviside H(t-a) , que basicamente “liga” a função a partir de t = a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
No nosso caso, temos f(t) = t^2 e^t H(t-3) . A presença de H(t-3) significa que a função só existe a partir de t = 3 , então a integral vai começar de 3 em vez de 0.

Passo 3

Vamos reescrever a transformada considerando o deslocamento introduzido pela função de Heaviside:
Lt^2 e^t H(t-3) = integral3^infty e^-st t^2 e^t , dt
Simplificando e^-st cdot e^t e^-(s-1)t , então:
integral3^infty e^-(s-1)t t^2 , dt

Passo 4

Agora, para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja u = t - 3 , então t = u + 3 e quando t = 3 , u = 0 . A integral fica:
integral0^infty e^-(s-1)(u+3) (u + 3)^2 , du
Isso se expande para:
e^-3(s-1) integral0^infty e^-(s-1)u (u^2 + 6u + 9) , du

Passo 5

Agora, vamos separar a integral em três partes:
e^-3(s-1) ( integral0^infty e^-(s-1)u u^2 , du + 6 integral0^infty e^-(s-1)u u , du + 9 integral0^infty e^-(s-1)u , du )
Sabemos que:
integral0^infty e^-au u^n , du = n!a^n+1
onde a = s - 1 e n = 0, 1, 2 .

Passo 6

Aplicando essa fórmula:
integral0^infty e^-(s-1)u u^2 , du = 2!(s-1)^3 = 2(s-1)^3
6 integral0^infty e^-(s-1)u u , du = 6 cdot 1!(s-1)^2 = 6(s-1)^2
9 integral0^infty e^-(s-1)u , du = 9 cdot 1s-1 = 9s-1

Passo 7

Agora, juntando tudo:
e^-3(s-1) ( 2(s-1)^3 + 6(s-1)^2 + 9s-1 ) = e^-3(s-1) cdot 2 + 6(s-1) + 9(s-1)^2(s-1)^3
Simplificando o numerador:
2 + 6(s-1) + 9(s-1)^2 = 9(s-1)^2 + 6(s-1) + 2

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace da função f(t) = t^2 e^t H(t-3) é:
Lf(t) = e^-3(s-1) (9(s-1)^2 + 6(s-1) + 2)(s-1)^3

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