Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
. Aqui, estamos lidando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas pra transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente para funções multiplicadas por exponenciais e a função de Heaviside
, que basicamente “liga” a função a partir de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função
é dada por:
No nosso caso, temos
. A presença de
significa que a função só existe a partir de
, então a integral vai começar de 3 em vez de 0.
Passo 3
Vamos reescrever a transformada considerando o deslocamento introduzido pela função de Heaviside:
Simplificando
dá
, então:
Passo 4
Agora, para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
e quando
,
. A integral fica:
Isso se expande para:
Passo 5
Agora, vamos separar a integral em três partes:
Sabemos que:
onde
e
.
Passo 6
Aplicando essa fórmula:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Simplificando o numerador:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace da função
é: