Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir.
f(t)=(t^2+2) H(t-1)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = (t^2 + 2) H(t - 1) . Esse exercício está ligado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, especialmente envolvendo a função degrau de Heaviside H(t - a) . Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em funções que são multiplicadas por H(t - a) .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função de Heaviside H(t - 1) . Ela é igual a 0 quando t < 1 e igual a 1 quando t >= 1 . Isso significa que a função f(t) = (t^2 + 2) H(t - 1) é zero antes de t = 1 e igual a t^2 + 2 a partir de t = 1 .

Passo 3

A transformada de Laplace de uma função multiplicada por H(t - a) usa uma propriedade chamada Propriedade do Deslocamento. Essa propriedade nos diz que:
Lf(t) H(t - a) = e^-a s Lf(t + a)
Aqui, L representa a transformada de Laplace e a é o deslocamento no tempo.

Passo 4

No nosso caso, a = 1 e f(t) = t^2 + 2 . Então, precisamos encontrar a transformada de Laplace de t^2 + 2 e depois multiplicar o resultado por e^-s .

Passo 5

Vamos calcular a transformada de Laplace de cada parte da função t^2 + 2 :
  1. Transformada de t^2 :
Lt^2 = 2!s^3 = 2s^3
Aqui, usamos a fórmula geral Lt^n = n!s^n+1 , onde n = 2 .
  1. Transformada de 2 :
L2 = 2s
Para uma constante k , a transformada de Laplace é ks .

Passo 6

Agora, somamos as duas transformadas encontradas:
Lt^2 + 2 = 2s^3 + 2s

Passo 7

Aplicando a Propriedade do Deslocamento, multiplicamos o resultado por e^-s :
L (t^2 + 2) H(t - 1) = e^-s ( 2s^3 + 2s )

Resposta

A transformada de Laplace da função f(t) = (t^2 + 2) H(t - 1) é:
L f(t) = e^-s ( 2s^3 + 2s )

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