Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função
. Esse exercício está ligado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, especialmente envolvendo a função degrau de Heaviside
. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em funções que são multiplicadas por
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função de Heaviside
. Ela é igual a 0 quando
e igual a 1 quando
. Isso significa que a função
é zero antes de
e igual a
a partir de
.
Passo 3
A transformada de Laplace de uma função multiplicada por
usa uma propriedade chamada Propriedade do Deslocamento. Essa propriedade nos diz que:
Aqui,
representa a transformada de Laplace e
é o deslocamento no tempo.
Passo 4
No nosso caso,
e
. Então, precisamos encontrar a transformada de Laplace de
e depois multiplicar o resultado por
.
Passo 5
Vamos calcular a transformada de Laplace de cada parte da função
:
- Transformada de
:
Aqui, usamos a fórmula geral
, onde
.
- Transformada de
:
Para uma constante
, a transformada de Laplace é
.
Passo 6
Agora, somamos as duas transformadas encontradas:
Passo 7
Aplicando a Propriedade do Deslocamento, multiplicamos o resultado por
:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: