Exercício 3. Determine os seguintes limites, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
(1)
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Passo 1
Vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 da função $ \frac{\ln(1+x)}{x} $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam perto de certos pontos e usar algumas regras de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ x = 0 $ na função para ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que não conseguimos diretamente dizer qual é o limite. Mas calma, isso não é o fim do mundo!
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada do tipo $ \frac{0}{0} $, podemos usar uma ferramenta chamada Regra de L’Hospital. Essa regra diz que, se o limite de $ \frac{f(x)}{g(x)} $ resulta em $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $, então o limite é igual ao limite das derivadas das funções:
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital:
- Derivada de $ f(x) = \ln(1+x) $ é $ f’(x) = \frac{1}{1+x} $.
- Derivada de $ g(x) = x $ é $ g’(x) = 1 $.
Então, o limite fica:
Passo 5
Agora, substituímos $ x = 0 $ na nova expressão:
Resposta
O limite é igual a 1.