Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir.
f(t)=(t+5) H(t-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A questão pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função f(t) = (t + 5) H(t - 3) . Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são muito úteis para resolver equações diferenciais, principalmente na engenharia e na física. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com a função de Heaviside H(t - a) , que basicamente “liga” a função a partir de um certo ponto t = a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de Heaviside H(t - 3) . Essa função é igual a 0 para t < 3 e igual a 1 para t >= 3 . Então, a nossa função f(t) = (t + 5) H(t - 3) significa que antes de t = 3 , f(t) = 0 , e a partir de t = 3 , f(t) = t + 5 .

Passo 3

Agora, para encontrar a transformada de Laplace dessa função, vamos usar uma propriedade importante das transformadas de Laplace envolvendo a função de Heaviside: se temos H(t - a)g(t - a) , a transformada de Laplace é e^-asG(s) , onde G(s) é a transformada de Laplace de g(t) .
No nosso caso, g(t - 3) = (t + 5) . Mas queremos expressar g(t - 3) em termos de t - 3 . Então, vamos reescrever:
g(t - 3) = (t + 5) = (t - 3) + 8
Assim, temos g(t) = t + 8 .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de g(t) = t + 8 :
L t = 1s^2
L 8 = 8s
Então,
G(s) = 1s^2 + 8s

Resposta

A transformada de Laplace de f(t) = (t + 5) H(t - 3) é:
F(s) = e^-3s ( 1s^2 + 8s )

Exercícios relacionados