Exercício 3. Determine os seguintes limites, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
(2) lim x infty xx+raizx-raizx-1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos calcular o limite quando x tende ao infinito da expressão:
xx + raizx - raizx - 1
Isso envolve conceitos de limites no infinito, simplificação de frações e análise do comportamento das funções quando x cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira parte da expressão:
xx + raizx
Para simplificar, vamos dividir o numerador e o denominador por x :
xx + raizx = 11 + raizxx
Sabemos que:
raizxx = 1raizx
Quando x tende ao infinito, raizx também tende ao infinito, então 1raizx tende a 0. Portanto:
11 + 1raizx approx 11 + 0 = 1
Então, para valores grandes de x , temos:
xx + raizx approx 1

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da expressão:
raizx - 1
Para valores grandes de x , a diferença entre x e 1 é insignificante, então podemos aproximar:
raizx - 1 approx raizx
Isso simplifica a expressão para:
raizx - 1 approx raizx

Passo 4

Substituindo as aproximações que fizemos na expressão original, temos:
xx + raizx - raizx - 1 approx 1 - raizx
Agora, vamos analisar o comportamento de 1 - raizx quando x tende ao infinito. Sabemos que raizx cresce sem limites conforme x aumenta, então:
1 - raizx to -infty quando x to infty

Resposta

O limite é -infty .

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