Exercício 3. Determine os seguintes limites, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
(2)
(2)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito da expressão:
Isso envolve conceitos de limites no infinito, simplificação de frações e análise do comportamento das funções quando
cresce sem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira parte da expressão:
Para simplificar, vamos dividir o numerador e o denominador por
:
Sabemos que:
Quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito, então
tende a 0. Portanto:
Então, para valores grandes de
, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da expressão:
Para valores grandes de
, a diferença entre
e 1 é insignificante, então podemos aproximar:
Isso simplifica a expressão para:
Passo 4
Substituindo as aproximações que fizemos na expressão original, temos:
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Sabemos que
cresce sem limites conforme
aumenta, então:
Resposta
O limite é
.