Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir.
f(t)=H(t-pi) cos t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=H(t-pi)cos t,
onde H é a função degrau. O conteúdo principal é a definição de transformada de Laplace e o uso da segunda propriedade de deslocamento no tempo (teorema do deslocamento).

Passo 2

Pela definição da transformada de Laplace, temos
Lf(t)(s) =integral0^inftye^-stH(t-pi)cos t,dt =integralpi^inftye^-stcos t,dt

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = t - pi,
logo t = u + pi, e observe que
cos t = cos(u+pi) = -cos u
Também e^-st = e^-s(u+pi) = e^-spie^-su. Assim
integralpi^inftye^-stcos t,dt =e^-pi sintegral0^inftye^-su(-cos u),du =-e^-pi sintegral0^inftye^-sucos u,du

Passo 4

Reconhecemos a integral
integral0^inftye^-sucos u,du =ss^2+1,
válida para Re(s)>0. Portanto
Lf(t)(s) =-e^-pi s,ss^2+1

Resposta

boxedLH(t-pi)cos t(s)=-s,e^-pi ss^2+1, Re(s)>0

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