Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir.
f(t)=e^t H(t-4)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de transformada de Laplace! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = e^t H(t-4) . Aqui, H(t-4) é a função degrau de Heaviside, que “liga” a função em t = 4 . Para resolver isso, vamos precisar entender a transformada de Laplace de funções exponenciais e como a função degrau afeta a transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por:
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt
No nosso caso, a função f(t) = e^t H(t-4) é zero para t < 4 e igual a e^t para t >= 4 .

Passo 3

Como a função H(t-4) “liga” a função e^t a partir de t = 4 , podemos reescrever f(t) como:
f(t) = e^t H(t-4) = e^4 e^t-4 H(t-4)
Isso nos ajuda a aplicar a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace.

Passo 4

A propriedade de deslocamento na transformada de Laplace diz que:
Lf(t - a) H(t - a) = e^-a s F(s)
onde F(s) é a transformada de Laplace de f(t) .
No nosso caso, a = 4 e f(t) = e^t . Então, precisamos encontrar F(s) , que é a transformada de e^t .

Passo 5

A transformada de Laplace de e^t é:
Le^t = 1s - 1
Agora, aplicando a propriedade de deslocamento:
Le^t H(t-4) = e^-4 s cdot 1s - 1

Resposta

A transformada de Laplace da função f(t) = e^t H(t-4) é:
Le^t H(t-4) = e^-4 ss - 1

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