Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir.
f(t)=e^t H(t-1) cos 2 t

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = e^{t} H(t-1) \cos 2 t $. Para resolver isso, vamos usar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente aquelas relacionadas a funções multiplicadas por exponenciais e deslocamento no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função $ H(t - a) $ é a função de Heaviside que representa um deslocamento no tempo de $ a $ unidades. Ou seja, $ H(t-1) $ significa que a função $ e^{t} \cos 2 t $ começa a partir de $ t = 1 $.

Passo 3

A transformada de Laplace de uma função deslocada é dada por:
L f(t - a) H(t - a) = e^-a s F(s)
onde $ F(s) $ é a transformada de Laplace da função $ f(t) $.

Passo 4

No nosso caso, a função $ f(t) = e^{t} \cos 2 t $ está sendo deslocada em $ t = 1 $. Portanto, precisamos primeiro encontrar a transformada de Laplace de $ e^{t} \cos 2 t $.

Passo 5

A transformada de Laplace de $ e^{a t} \cos(b t) $ é dada por:
e^a t cos(b t)
onde $ a = 1 $ e $ b = 2 $.

Passo 6

Substituindo os valores de $ a $ e $ b $ na fórmula, temos:
a

Passo 7

Agora, aplicando o deslocamento temporal usando a transformada de Laplace, temos:
L e^t H(t - 1) cos 2 t = e^-s cdot 1 cdot s - 1(s - 1)^2 + 4

Resposta

A transformada de Laplace da função $ f(t) = e^{t} H(t - 1) \cos 2 t $ é:
f(t) = e^t H(t - 1) cos 2 t

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