Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = e^{t} H(t-1) \cos 2 t $. Para resolver isso, vamos usar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente aquelas relacionadas a funções multiplicadas por exponenciais e deslocamento no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função $ H(t - a) $ é a função de Heaviside que representa um deslocamento no tempo de $ a $ unidades. Ou seja, $ H(t-1) $ significa que a função $ e^{t} \cos 2 t $ começa a partir de $ t = 1 $.
Passo 3
A transformada de Laplace de uma função deslocada é dada por:
onde $ F(s) $ é a transformada de Laplace da função $ f(t) $.
Passo 4
No nosso caso, a função $ f(t) = e^{t} \cos 2 t $ está sendo deslocada em $ t = 1 $. Portanto, precisamos primeiro encontrar a transformada de Laplace de $ e^{t} \cos 2 t $.
Passo 5
A transformada de Laplace de $ e^{a t} \cos(b t) $ é dada por:
onde $ a = 1 $ e $ b = 2 $.
Passo 6
Substituindo os valores de $ a $ e $ b $ na fórmula, temos:
Passo 7
Agora, aplicando o deslocamento temporal usando a transformada de Laplace, temos:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ f(t) = e^{t} H(t - 1) \cos 2 t $ é: