(1,0) Encontre a transformada de Laplace inversa de F(s)=\frac{1}{s^{2}-3 s}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{1}{s^{2}-3s}
O conteúdo envolvido é o uso de frações parciais para decompor F(s) e depois aplicar a tabela de transformadas inversas de Laplace.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
s^{2}-3s = s(s-3).
Logo propomos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{s(s-3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s-3}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por s(s-3) e igualamos coeficientes:
1 = A(s-3) + B\,s = (A+B)\,s - 3A.
Comparando coeficientes de s e o termo constante:
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ -3A = 1, \end{cases}
daí
A = -\tfrac{1}{3},\quad B = \tfrac{1}{3}.

Passo 4

Reescrevendo F(s) com esses valores:
F(s) = -\tfrac{1}{3}\,\frac{1}{s} \;+\;\tfrac{1}{3}\,\frac{1}{s-3}.
Sabendo que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1
e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-3}\}=e^{3t},
aplicamos a transformada inversa termo a termo:
f(t) = -\tfrac{1}{3}\cdot 1 \;+\;\tfrac{1}{3}\,e^{3t} = \tfrac{1}{3}\bigl(e^{3t}-1\bigr).

Resposta

f(t) = \tfrac{1}{3}\bigl(e^{3t}-1\bigr).

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